儿童数学学习的个别差异和个性化数学教育

 

 

    【摘要】个性化教育是培养21世纪具有创造性和开拓性人才的需要, 是当今世界教育与课程改革的趋势, 也是我国学前教育发展的方向。近年来对上海市学前儿童数学发展跟踪研究的几组数据表明, 3～6岁儿童在数数技能、基数概念、书面数符号表征和加减运算能力的发展方面表现出显著的个别差异。实证研究的数据也表明, 儿童的学习风格与数学发展水平有显著正相关, 数学高得分组与低得分组儿童在学习风格方面有很大的差异。本文最后从体制或组织的保证、教师的技能与专业成长及个性化数学教育的支持系统三个方面,对如何创造有利于个性化教育的必要条件提出了建议。

 

    【关键词】数学学习; 个别差异; 个性化教育

 

 

    个性化教育是当今世界教育与课程改革的趋势, 也是我国学前教育发展的方向。个性化教育根据每个儿童的发展水平、能力、学习特点、需要和兴趣, 施以不同的教育影响。近年来的多项研究进一步表明了个性化教育的重要性。个性化教育要求教师尊重儿童的个别差异, 有区别地对待每一个儿童。这种观念正在逐步渗透到教育的理念和实践中。

 

    儿童都具有学习数学的潜力, 但这种潜力存在着个别差异。研究表明, 三四岁左右的儿童在非正式数学知识和经验上就已经表现出很大的个别差异。研究发现, 有些三四岁儿童数概念的发展可以超过五六岁的儿童, 有的五六岁的儿童可以达到小学三、四年级的水平。研究还发现, 儿童数学能力发展中的这种个别差异会随着年龄增长而加大。这一结果也被我们近来的一项研究所证实。这种差异对数学能力较差的儿童今后的数学学习有可能产生长期的负面影响。目前, 我们对这种发展水平方面的差异本身以及产生这些个别差异的原因都不是很清楚。除了数学发展水平方面的差异外, 儿童在数学学习的方式或风格方面也表现出较大的差异。对儿童在学习风格方面的差异, 我们了解得更少, 这方面的研究相对来说起步也较晚。了解和研究儿童数学发展水平和学习风格是进行个性化数学教育的重要前提。

 

    一、儿童数学发展水平的差异

 

    近几年来, 我们完成了几个有关儿童数概念发展方面的跟踪研究, 对儿童在学习数学时表现出来的个别差异深有体会。下面我们试图用几组研究数据来说明这个问题。

 

    1.数数与基数的发展

 

    儿童的数数和掌握基数概念的能力表现出很大的个别差异。表1的数据表明, 儿童刚入园时的唱数能力存在明显的个别差异, 能力强的可以唱数到119,能力弱的只能数到2或3, 甚至一个也不会数。不同幼儿园的儿童入园时的唱数水平也有明显的差异。

表1 刚入园儿童唱数的发展水平

    注：3.6表示3周岁6个月，下同。

 

    表2的数据表明, 从儿童“按数取物”水平来看, 水平较高的儿童能根据要求拿出25个或更多的物体, 而水平较低的儿童1个物体也拿不出来。表2还表明, 中班儿童的按数取物能力的差异并不比刚入园的儿童的个别差异小, 水平较高的儿童能拿出30个或更多的物体, 而水平较低的儿童只能拿出2个物体。

表2 儿童按数取物的发展水平

 

    根据教师的推荐和个人实测的分数将表2中第三个样本中的85人分成高分组与低分组两组,这两组儿童的数学水平得分见表3。数据表明, 在小班下学期, 儿童的数学发展水平差异很大。高分组平均总分42.5, 而低分组的平均总分只有7.2。两组的得分有显著差异。

表3 小班下学期儿童的数学发展水平的均数、标准差

高分组（n=43） 低分组（n=42）

注：平均年龄4.1，SD3.7个月。

 

    2.书面数符号表征能力的发展

 

    跟踪研究表明,在小班下学期, 当主试向儿童出示纽扣, 要求他们把纽扣的数量写下来时, 儿童会表现出四种发展水平的反应方式: (1) 随意性反应，即在纸上写下与数量没有任何关系的符号, 如涂鸦、画画或想象中的文字； (2) 图像式反应，写下的符号既反映了数量, 也反映了实物的特征, 如实物的形状、颜色、大小等； (3) 图符式反应，符号只是反映了数量, 但不反映物体的其他特征, 如画竖线, 数点等； (4)符号式反应，写出规范的阿拉伯数字。

 

    四岁儿童运用上述四种不同发展水平的反应方式来表征数量的百分比分别为14.8%、34.4%、11.5%和39.3%。可见, 大多数四岁儿童(85.2%)能正确地运用图像、图符和符号来表征数量。在随意性反应类型中, 大多数儿童在出示不同数量的纽扣后只画了一颗纽扣或一个圆圈。有的儿童尽管能正确地说出纽扣的数量, 但不知道如何用符号来表示。其中有一个儿童在出示一颗纽扣时画了好几颗纽扣。有些儿童说他们不知道如何写数的符号。在图像式反应类型中, 有的儿童画了纽扣(在圆圈中画两个点), 有的画了圆圈。其中六个被试运用了明显的一一对应的方法, 如数一个, 画一个,或看一个, 画一个。有人甚至依次取每个纽扣放在纸上照着画。在图符式反应类型中, 五个被试运用数字式图符表达, 即用1、2、3来代表3颗纽扣。有两个儿童分别用竖线和数点来表征数量。儿童在两位数的书写中表现出很好的创造性。十多个儿童运用六种不同的方法代表两位数。如用1002来表征102; 用41、40、004、4来表征14; 用十表征10; 用6十表征16, 等等。一种常见的两位数表征方法是颠倒两位数的位置。

 

    我们的研究也表明, 儿童对书面数符号的理解表现出很大的差异。如对算式 2+2=4的理解,主试出示一张写有阿拉伯数字和数学运算符号的卡片, 说“:请你告诉小熊这个卡片上写的是什么,小熊看不懂卡片上写的东西, 你可以用纽扣摆出来给它看。”儿童运用了多种表征方法: (1)正确方法——摆出得数(4颗纽扣), (2) 摆出算式中所有阿拉伯数字的总和 (8颗纽扣), (3) 摆出算式中一个加数和得数的和(6颗纽扣), (4) 摆出整个算式(8颗纽扣加上摆“+”和“=”所需纽扣), (5) 摆出阿拉伯数字符号本身, 如4的形状或形象地摆出算式的符号, (6)摆出珠心算所用算盘珠的位置。又如对数符号“- 5”的理解, 尽管5～6岁儿童无人知道它所代表的真正含义, 但他们都能以自己独特的方式来表征: (1) 有的把它理解成减5, 从桌上的纽扣中拿走了5颗(这一反应算正确答案)。(2) 有的仅表征出数量, 摆出5颗纽扣, 对“- ”视而不见。(3)有的在“- 5”前加上想象的数字, 如5- 5=0。(4)有的把它读成“减5”, 但不知该怎么摆纽扣。(5)有的用纽扣形象地摆出负号和5的形状。这一结果表明, 儿童对数的理解确实是一种主动的、个性化的建构, 而不完全是文化的传递。

 

    这种显著差异出现在小班尚可理解。但我们发现, 随着时间的推移, 在接受了一年或三年相同的幼儿园教育以后, 同一个班的儿童在数学发展方面的差异依然存在,甚至差距更大。表4是儿童从小班下学期到中班末的书面数符号表征发展水平的变化。在14个月的时间内,高分组儿童从表征11.5个物体发展到能表征近78个物体, 低分组的儿童从表征1.6个物体发展到能表征27个物体, 进步也不小。但我们可以看出, 到中班末, 不仅各组之间的差距更大了, 而且不管是高分组还是低分组, 组内儿童的水平差距也越来越大。

表4 儿童小班下学期至中班末期书面数符号表征发展水平的变化

注: 小班年龄=4.1, 标准差=3.7;中班末年龄=5.3,标准差=4.0。

 

    表5为儿童在大班末期的数学发展情况。书面数符号表征水平从18至150, 书面加减运算得分为3～24分, 即24道加减运算题, 有人全部做对, 有人只做对3题。

表5 儿童大班末期数学发展水平

注: 人数=54, 年龄=6.4。

 

    以上几组数据表明, 在学前三年中, 儿童数学发展的个别差异始终存在。刚入园儿童的个别差异显然与家庭、父母的影响有关。而到幼儿园末期儿童在数学发展方面反映出来的显著差异也可能在相当程度上与家庭的教育有关。既然这种差异是客观存在的, 幼儿园的教育就有必要考虑如何应对这种差异。

 

    二、儿童学习风格的差异及其与数学水平之间的相关

 

    学习风格(Learning Styles) 有时又称为学习方式或工作方式, 是指儿童在学习中表现出来的, 在一段时间内相对稳定的认知、个性方面的外在行为方式。有人把它界定为一种综合的、典型的认知、情感和生理的行为特征, 包括学生在知觉学习环境、与学习环境互动和对学习环境作出反应方面的相对稳定的行为表现 ( 格里格斯, 1991, 引自赖丁, 雷纳, 2003)。学习风格也可理解成个体在信息的感知、加工、表征和记忆方面表现出来的偏好和习惯性的反应方式。通俗一点说, 学习风格是指儿童在学习过程中通常喜欢或偏好的学习方式。能力关系到行为表现的水平, 而风格反映的是行为表现的方式和个体的差异。能力有高低之分,方式没有好坏之分, 只是偏好不同而已。关注风格的意义在于全面了解儿童, 在可能的情况下提供有助于不同学习风格的儿童更有效地学习的条件。研究发现, 儿童个体学习的方式不一样。儿童对信息的选择、编码、组织和记忆的习惯性方式不一样。如有的儿童在学习时更容易受到背景环境的影响, 有的儿童却能排除来自大环境的干扰; 有的儿童在学习时更需要成人的关注, 有的儿童则更喜欢独立探索; 有的儿童通过听觉刺激就能理解某些概念, 而有的儿童必须通过动觉或视觉刺激, 或几种刺激相结合的形式才能学会某种概念。

 

    影响儿童认知和个性倾向性形成的因素比较复杂。有的研究者认为, 学习风格虽然受到先天遗传特征的影响, 如气质类型、神经系统类型,但遗传与早期的生活经验和文化经验的相互作用对学习风格形成的影响可能更大。如在美国,黑人儿童在中小学的成绩往往比不上同班的白人儿童的成绩。对这种现象, 最初的解释是也许黑人儿童的智力有问题。但后来的研究表明, 白人儿童和黑人儿童的智商并没有显著差异, 一个可能性因素是他们的学习方式不一样。白人的文化强调从小培养儿童的独立探索能力, 在遇到问题时要通过自己的努力解决问题。而黑人的文化强调团体的互助, 特别是大家庭中孩子之间的相互帮助和相互依赖, 所以黑人孩子独立解决问题的能力较差。但美国的学校大多以白人文化的价值观和标准来评定学生, 注重学生独立解决问题和学习的能力。所以黑人孩子的学习困难有可能是一种文化适应上的问题, 这种问题同样存在于美国的其他文化儿童的受教育问题中。这种现象说明儿童个人的、家庭的生活经验不一样, 会使儿童形成自己独特的学习特点, 而在教育过程中, 教师要考虑这些特点。

 

    有关学习风格的理论提出了学习风格所包含的五种要素: 身体要素, 态度、情感、动机要素, 思维特征要素, 社会组织要素和环境要素。个体在学习过程中在这些要素上会表现出自身的特点。

 

    1.身体要素。知觉的:听觉型——很容易记住听过的事, 善于倾听, 希望通过讲课学习, 喜欢讨论新的信息; 视觉型——很容易记住看过的信息,喜欢板书, 喜欢看图教学, 喜欢想象, 或者这几者的结合; 触觉型——喜欢触摸和操作事物; 动觉型——喜欢有身体动作的参与, 在有身体动作的经验时记忆效果最好。时间的:时间节奏的安排,学习的最佳时间。运动的: 满足动的需要。

 

    2.态度、情感、动机要素。学习动机因人而异,有人把学习作为一种内在的需求, 喜欢学习, 有人需要外在的激励或鼓励。坚持性——有人可以自始至终坚持较长的时间, 有人可以坚持到最后但中间需要多次休息, 有人兴趣很容易转移。独立性——有人做事时喜欢有明确的要求或指南, 有人喜欢独立行事, 不需要别人告诉他怎么做。多样性——有人喜欢变化与挑战, 对同一件事不喜欢做两遍; 有人喜欢驾轻就熟, 喜欢可预测性和稳定性, 喜欢熟悉的做事程序。

 

    3.思维特征要素。反思型思考者——在做决定前要有足够的时间考虑所有的细节; 冲动型思考者——迅速运用已有的生活经验来同化新的信息, 利用少量的信息迅速作出反应; 分析型思考者——具有左脑优势, 喜欢一步一步富有逻辑的分析, 常常采用线性结构来理解信息; 综合型思考者——具有右脑优势, 学习新事物时喜欢综观全局, 对细节不感兴趣, 在同一时间内可以处理不同的信息。

 

    4.社会组织要素。有人喜欢一个人做事; 有人喜欢与同伴一起做事, 喜欢合作与交往; 有人喜欢接近与服从权威, 经常得到权威的认可与鼓励, 有更多的与成人互动的机会。

 

    5.环境要素。声音——有人在学习时喜欢保持安静, 但也有人喜欢有声音, 如听音乐; 光线——对亮度有不同喜好; 工作地点。

 

    这五种学习风格的要素在多大程度上适用于学前儿童, 或如何理解与评价学前儿童的学习风格, 对此还需要作进一步研究。也有人对学前儿童是否已经形成稳定的学习行为方式有疑问。我们的两年跟踪研究资料表明, 数学高得分组与低得分组儿童的学习风格和非智力因素存在很大的差异。如在学习兴趣和动机、参与数学学习的态度、注意力的集中、坚持性、自控能力等方面, 同组内的儿童有相当高的一致性。高得分组儿童普遍对数学学习的兴趣较高, 参与态度积极认真, 注意力很集中, 自控力、坚持性好, 接受能力、自理能力较强。低得分组儿童对数学学习没有兴趣或兴趣一般, 参与态度不积极, 注意力很容易分散, 自控力、坚持性较差, 与同伴的关系欠佳。高得分组儿童的学习风格与他们的数学学习之间显然是一种正向循环, 而低得分组儿童的学习风格与他们的数学学习则是一种负向的循环。当然, 现在很难说儿童的学习风格与他们的数学能力之间到底哪个是因、哪个是果。

 

    在另一个研究中, 我们考察了儿童的数学发展水平与他们的学习风格之间的相关。数学水平的测查变量包括几何图形( 用几何积木拼搭风车和拼图) , 数数, 实物减法运算、估算和平分。在测查过程中, 对儿童的学习风格作过两次评定。学习风格评定的内容包括: 活动的主动性, 注意力,计划性, 目标意识, 独立性, 合作性和抗挫能力。研究表明, 第一次的学习风格得分与大部分数学活动水平有显著正相关, 而第二次的学习风格得分与所有的数学活动水平得分均有显著正相关。可能评分人在第二次的学习风格评定时更加熟练, 从而得分更加准确地反映了儿童的实际情况。两次的学习风格评分之间有显著正相关, 证实了工具本身的信度。当然, 我们对儿童的学习风格及其对数学学习的影响的研究开始不久, 有待进一步深入。

 

    三、个性化的数学教育

 

    儿童在数学学习中表现出显著的个别差异,这说明开展个性化的数学教育具有重要意义。但如何把个性化教育的理念转化为实践, 还有很长的路要走。有人经常问我美国幼儿教育和中国幼儿教育的区别在哪里, 我觉得一个很大的差别是个性化教育的问题。美国的幼儿教育一般比较强调个性化教育, 每个儿童每天在幼儿园的学习经验是因人而异的。而我们的很多孩子在幼儿园接受的是一种整齐划一的教育, 在同一时间内从事同一种活动, 选择余地较少。另外, 教师往往会用一种好孩子的标准去强化所有孩子的行为。我们高兴地看到, 近年来在我国一些发达地区已经出现了小组教学的组织形式, 它为个性化的教育提供了有利条件。既然我们已经认识到个性化教育的重要性, 我们就有必要通过共同的努力来创造一些有利于个性化教育的必要条件。

 

    1.体制或组织的保证

 

    个性化数学教育虽然最后要由教师来实施,但它要求有体制或组织上的保证。如班级规模,儿童与教师的比例应该有一个底线, 在有条件的地方可提倡小班组织形式。没有这个条件作保证,个性化教育就无法实施。当然, 这个比例在各地可能是不同的。在发达地区可能做得较好, 在不发达地区做得较差。我一直在呼吁控制班级规模并强调儿童与教师的比例的重要性, 因为它不仅是高质量的幼托机构教育的保证, 更是开展个性化教育的前提。这已经成为许多国家的共识。按《幼儿园工作规程》的要求, 每个班级2教1保。这个1∶10的粗算比例还是可以的, 并不比发达国家的1∶8差多少。但发达国家是按全天候保证1∶8的比例来评定的, 而我们不能保证3个成人在任何时间都在班上。事实上, 在很多时间内教师与儿童的实际比例是1∶30。这个比例根本无法保证优质的幼儿教育最基本的条件, 更不用说个性化教育。有人提出, 强调儿童和教师的比例不符合我国的实情。我不这样看, 在我国发达地区, 甚至不发达地区的一些幼儿园的硬件都已超过发达国家的条件。既然有这种经济条件, 为什么不可以改变投资的方向, 降低儿童与教师的比例呢? 然而, 上世纪50年代设定的班级人数和2教1保的教师配备比例随着经济条件和生活水平的大幅提高, 至今不仅没有改善, 在不少地区班级人数还有增长的趋势。这是一种倒退。这不仅仅是经济条件的问题, 而是教育理念的问题。即使是农村和贫困地区, 也应该有儿童与教师比例的安全底线。否则, 对教师和儿童都是不负责任的表现。如果因为人数过多使儿童的安全和健康都得不到保证,还不如让儿童留在家中更有利于他们的成长。

 

    2.教师的技能与专业成长

 

    教师不仅要从观念上认识到个性化教育的必要性, 还要从能力和技能方面有所准备。儿童在数学学习上表现出不同的天赋﹑经验﹑能力﹑兴趣和需要。成人首先要通过多种途径了解儿童在这些方面的个别特点和差异, 然后因材施教。成人对不同能力的儿童的数学学习作出不同的反应和运用不同的指导方法是有效地促进儿童数学能力发展的保证。我们要改变用一种目标﹑一种方法和一种评价手段对待全班儿童的传统教学模式, 提供与儿童的发展水平和学习风格相一致的个性化数学教育。以小班数教育的目标为例, 前面的数据表明, 有的小班儿童早在刚入园时就已经掌握了25以上的基数概念, 对这些儿童的数学教育怎么开展?如果在整整一年中仍停留在5以内的数的概念的学习上, 对他们来说不仅是一种时间上和智力上的浪费, 还有可能对他们的数学学习兴趣产生负面影响。对数学发展较好的儿童应给予更多的挑战, 也可以让他们有机会去帮助别的孩子。对学习有困难的儿童, 成人首先要深入了解他们的情况, 弄清楚他们的问题所在, 他们在什么地方需要帮助。如拿按数取物来说, 儿童感到困难的原因可能有几种, 有的儿童可能还没有牢固掌握数词, 即唱数就不到位, 你要他数10个物体, 他的唱数水平是6; 有的儿童能唱数到10, 但在数物体的过程中, 手口物三者之间不能一一对应, 可能漏数或多数物体; 有的儿童唱数很好, 手口物三者之间也能一一对应, 但并不清楚数的最后一个数词是代表这一个集合的总数; 也有的儿童很好地掌握所有这些技能, 但由于数的时候比较粗心, 结果经常出错。

 

    有的儿童智力条件很好, 但由于学习风格方面存在一些不足, 也会出现数学发展缓慢的现象。如学习过程中的注意力不集中, 坚持性不够好, 好动。改变与提高这些儿童可能不是一件容易的事情, 需要与家长沟通与合作。在了解儿童的过程中, 教师可利用各种非正式评价手段, 如从儿童平时的活动﹑日常的对话﹑教育活动中的反应﹑和家长的交流以及儿童自己完成的书面作业或作品中进行分析。当然, 这种个性化的教育无疑对教师的观察与了解儿童的技能提出了很高的要求。

 

    除了观察与了解儿童以外, 个性化数学教育还对教育活动的设计与组织提出了要求。在教育活动中, 对发展水平不同的儿童可以提出不同层次的要求; 在活动的内容和材料方面给儿童提供选择; 根据儿童学习风格的特点提供多种社会组织方式; 提供与儿童的学习风格相对应的活动方式; 在完成特定数学活动的时间要求上有灵活性,特别是在心算方面, 不应该把速度作为评价的标准; 鼓励儿童运用不同的手段来解决同一个问题; 关注学习风格方面有明显弱点的儿童, 提供有针对性的帮助, 等等。

 

    3.个性化数学教育的支持系统

 

    要提供与《幼儿园教育指导纲要(试行)》配套的材料, 帮助教师更好地把握不同年龄的儿童在各个领域发展的目标与发展的内涵。发展的目标尽可能操作化, 这样可以帮助教师明确在不同的年龄阶段, 儿童应该掌握哪些知识, 应该会做些什么。我们目前正在制定这样的支持性工具, 制定3～6岁儿童在各个学习与发展领域应该达到的发展水准。如果有了这样的工具, 教师的观察就会容易得多。另外, 我们也需要有不同年龄的儿童数学发展的观察、评价与记录的方法。

 

 

*本研究得到全国教育科学十五规划课题(DHA030148)、上海市教育科学研究课题(B033) 以及台湾信谊基金会课题(搭建桥梁) 的资助。以下人员参与了研究: 黄瑾、王正可、王滨、杨宗华、赵振国、杨蕾、杨峥峥、王烨芳、王洛丹等, 在此一并表示感谢。