“数字世界”儿童数学课程及其启示

发布日期:2008年08月28日
作者：程祁

　　(摘要)“数字世界”儿童数学课程是在新皮亚杰理论的指导下发展起来的一种旨在培养儿童数字感知的实践性课程。该课程的基本目标是通过发展儿童对数字的感知能力，使其获得数学学习所需要的一些基本概念和能力。该课程包括五个方面的基本内容，向儿童呈现了五种数字表征形式，即实物表征、图片表征、排列表征、高度表征和循环表征。该课程给当前我国幼儿园数学教育以一定的启示：（1）数学教育应以培养儿童对数学的感知和体验为基础。（2）数学教育应重视培养儿童数学方面的元认知技能。（3）数学教育活动中应注重教师与儿童之间的交流。（4）数学课程的设计应为教师提供丰富的具有可操作性的活动实例。

　　“数字世界”（Number Worlds）儿童数学课程是由美国克拉克大学心理学教授莎朗·格里芬（Sharon Griffin）和新皮亚杰学派代表人物罗比·凯斯（Robbie Case）等研究者在有关儿童早期数概念发展的研究中提出的。新皮亚杰理论认为，儿童智力发展的实质是建立一系列有组织的中心概念结构。这种中心概念结构是由概念之间的关系联结而成的内部网络，是在特定的概念领域内进行组织活动的基础性心理结构。〔1，2〕格里芬和凯斯等研究者在此基础上提出了儿童的中心数概念结构，这一结构由核心的数知识构成，它不仅是执行大量数学相关任务的基础，也是进一步进行数学学习的前提。研究表明，训练能有效地帮助处于不同发展水平的儿童获得这种中心数概念结构。〔3，4〕因此，格里芬和凯斯设计了“数字世界”这一儿童数学课程，以培养儿童的数字感知能力。

　　一、“数字世界”儿童数学课程的基本内涵

　　“数字世界”儿童数学课程的基本目标是通过发展儿童对数字的感知能力，使其获得数学学习所需要的一些基本概念和能力。
格里芬认为，数学不仅包含数字概念，也包含量的概念，数字是用来表示量的。当儿童意识到每一个数字都代表一个特定的量（这种量可能会通过不同的形式表现出来），意识到数字比日常使用的“许多”“一点”“更多”等词语更能准确地对一定量进行描述的时候，数字才能对他们产生意义，使他们了解数字是一种可以用来描述数量和解释相关问题的工具。〔5〕这种关于数的认知对儿童掌握和使用数字系统有巨大的推动作用。格里芬还认为，以物体的量以及量的各种表征形式作为儿童数学教育的基本内容对儿童数字认知的建构非常关键。因此，“数字世界”儿童数学课程包含五个方面的基本内容，向儿童呈现了五种不同的数字表征形式（见下图）。〔6，7〕

　　1．实物表征

　　　儿童在生活中最先接触到的数字表征形式是实物表征（Object Land），即用若干实物来表征数字。儿童早期接触到的都是三维立体的实物，例如几个硬币、几个手指。它们都是物理的、真实的，具有可分类的自然属性，可以供儿童进行直观的比较和讨论。到了后期，儿童将逐渐过渡到可以脱离实物来数数和比较图片中物体的量。在实物表征阶段的活动中初步掌握描述数量的语言，是儿童今后数学学习的重要基础。

　　2．图片表征

　　儿童接触到的第二种表征形式是图片表征（Picture Land），即用半抽象的数图（将一定数量的图形以各种形式排列）来表征数字，它将具体的实物和抽象的符号联系起来。与实物表征不同，数图所表征的数字与实物不能一一对应，儿童必须在头脑中构建两个集合，进行对应比较。〔8〕例如，数字5的点图和数字4的点图模式是相同的，只是“5”比“4”多了一个点。儿童开始图片表征的活动（例如卡片游戏或骰子游戏）后，他们将逐渐理解数图中图形的排列规律等，从而对规则产生一定的认识。

　　3．排列表征
　　排列表征（Line Land）是指用横向连续的空格（类似于直线上的线段）来表征数字，用表示距离的语言来描述数字。儿童在运用排列表征的过程中逐渐理解数字的不同含义。数字既可以表示线段上某个特定的地方，也可以表示沿着路线移动的数量。这一阶段儿童开始由可数的物体转向抽象的数字和数运算，即从物理运算转向心理运算。

　　4．高度表征
　　高度表征（Sky Land）是指用条线图和刻度表征数字，用表示高度的语言描述数字。高度表征与排列表征类似，两者最主要的差别是变化的方向。理解数字的高度表征有助于儿童在数字和量度之间建立联系，用标准单位来计量连续量。

　　5．循环表征
　　循环表征（Circle Land）是指用钟面、刻度盘等来表征数字，它是一种更为复杂的数字表征形式，因为它将周期性（一种自我重复的方式）纳入计量之中。儿童在生活中会经历许多周期性的过程，如儿童学习和睡觉的生活规律，太阳的升起和落下等。周期性是循环表征阶段的中心内容。儿童在理解循环表征的过程中发展了空间知觉，这将成为他们数学学习中处理呈圆形的循环动作以及理解饼图、时间等概念的基础。

　　尽管这五种表征方式由易到难，但“数字世界”儿童数学课程的一个重要目标是帮助儿童理解这些表征形式之间的等值关系，学会使用这些表征形式中用来描述数字的语言。因此，该课程针对每种表征方式为不同年龄的儿童设计了相配套的教学活动（各种表征形式在每个年龄段都有15个活动）。

　　二、“数字世界”儿童数学课程的活动案例分析

　　“数字世界”儿童数学课程包括学前两年至小学二年级四个年龄段的教学内容，其教学活动在每个年龄段都有不同的培养目标和培养计划。每个活动都配有相关说明，其中包括详细的活动目标设置，活动目标的合理性解析，活动中任务难点分析，师幼对话的建议，挑战性活动创设以及关于如何开展活动的详细建议。下面仅以一幼儿园课程中循环表征的活动为例加以分析。

　　循环表征活动——溜冰聚会

　　活动材料是标有数字0~9的圆形游戏板（如下图）。这一材料可以帮助幼儿初步理解数字以10为基本单位的循环特征。活动的基本目标包括：（1）能够确认骰子上数图表征的数字大小，并将其与圆盘上的相应位置对应起来。（2）将沿着圆盘的刻度移动和数量的增加对应起来。（3）比较圆盘上的不同格子，确定哪个更多、哪个更少，并用这些知识来解决数学问题。幼儿在游戏中进行比赛，并回答教师提出的问题。〔9〕

　　
　　具体游戏内容为：四名幼儿为一组，每组使用一块游戏板。首先，幼儿将各自的棋子放在起点（即0的位置），轮流投掷骰子，数出骰子上的点数，然后沿着圆盘将棋子移动相应数量的格子。每当沿圆盘完整地旋转一周，幼儿将得到一张奖励卡。在游戏的最后，幼儿计算并比较各自奖励卡的数量，得卡最多的为第一。比赛可在小组内进行，也可以在小组间进行。
　　在游戏过程中，教师会针对不同幼儿的现有理解水平有针对性地提出问题，促使幼儿思考。例如，当所有棋子位于圆盘上的不同格子时，教师会问幼儿：“谁离起点最远，谁离起点最近？要赢得一张奖励卡，你还要走多远？”幼儿作出回答之后教师还要追问：“你是怎么知道的？你是怎么算出来的？”教师要给幼儿留出充足的时间来思考答案并鼓励小组成员之间共同讨论。当幼儿数奖励卡时，教师可以提问：“你绕着溜冰场走了几圈？谁的奖励卡最多？”
　　教师还可以加入一些材料以增加活动难度。例如，设计一套三张的溜冰卡让幼儿抽签：“滑得好”则加1分，“摔倒了”则减1分，第三种是“原地不动”。幼儿照点数移动棋子后还要抽取一张溜冰卡，并按卡片的指示行动：前进一格，后退一格，或是原地不动。这样的游戏可促使幼儿思考：一个数字加1或者减1后将会变成多少？教师要提供机会让幼儿对当前遇到的数量问题进行讨论。例如，幼儿抽取一张卡片后，教师可以问：“你现在在什么位置？这张卡片告诉你要做什么？这样做以后，你离终点还有多远的距离？你是更接近终点了，还是离得更远了呢？你是怎么知道的？”教师要鼓励幼儿反思自己的推理过程，并学会用数学语言来解释自己的答案。通过回答和讨论这些问题，通过确定或者否定自己的想法，或者通过实际的动作来预测答案，幼儿可以牢固地建立起一种关于量、计数和表征符号三者之间关系的认知。

　　三、“数字世界”儿童数学课程对当前我国幼儿园数学教育的启示

　　1．数学教育应以培养儿童对数学的感知和体验为基础

　　由于数学是一门抽象性和逻辑性较强的知识性学科，因此许多幼儿园教师在教学中会不由自主地将关注点放在应该让儿童学会什么样的数学知识上。实际上，幼儿园数学教育的重点在于培养儿童对基本数学概念的体验和感知能力，发展儿童的数学意识，而不是单纯地学习和掌握数学知识。我们可以看到，虽然“数字世界”儿童数学课程主要针对数字这一中心数概念，但其课程设计并非单纯地让儿童认识数字，而是强调让儿童充分感知社会生活中数字的各种表征形式和表达方式，帮助儿童理解计数、量和表征符号三者之间的联系，使儿童获得关于数字的陈述性知识和程序性知识，从而逐渐认识并理解数字。

　　2．数学教育应重视培养儿童数学方面的元认知技能

　　元认知技能是指认知主体对认知活动进行调节的技能。〔10〕大部分幼儿园教师在数学教育活动中都已经意识到要更多地鼓励儿童独立思考问题、解决问题，然而他们引导幼儿进行的思考往往只针对数学认知本身，缺乏对儿童元认知技能的指导。在“数字世界”儿童数学课程中，教师会通过一些预设的问题让儿童关注数量的比较、结果的预测等问题，引导儿童不仅仅思考问题的答案，也思考问题的解决方法，以此锻炼儿童的解决问题能力和逻辑推理能力，从而培养儿童的元认知技能，发展儿童的数学思维。例如在溜冰游戏中，教师会定时中断游戏，提出距离比较的问题。在儿童正确回答问题的基础上，教师还注重帮助儿童使用不同的策略来解释自己的答案，如计算已经走过的格子的数量，棋子当前所处的格子中的数字，剩下还没走的格子数等。

　　3．数学教育活动中应注重教师与儿童之间的交流

　　当前，在幼儿园数学教育活动中，由于强调让儿童在与材料的互动中自发地探究、自我建构，一些教师在组织活动时，往往将关注点放在材料的设计和提供上，认为只要为儿童提供了适合其发展水平的操作材料，就能促进儿童的发展。他们忽略了与儿童的互动，即使有互动也往往限于一些直接的、面向全体儿童的互动，缺乏与个别儿童的有针对性的交流。

　　事实上，儿童有价值的学习离不开成人的有效支持，与成人的互动能促进儿童认知的建构。“数字世界”儿童数学课程强调教师对儿童学习的支持，教师通过提问和策略性的活动调整，将儿童的思考不断引向深入，使其获得进一步的发展。“数字世界”儿童数学课程通过两种方式为教师与儿童之间的交流提供了支持：一是针对小组游戏进行中的难点设计了问题，让教师通过提问促使儿童思考；二是在普遍意义上为教师设计了与儿童的对话，将对话融入活动之中，使活动更具挑战性。

　　4．数学课程的设计应为教师提供丰富的具有可操作性的活动实例

　　在当前我国幼儿园课程改革与实践中，关于增强课程文本可操作性的呼声越来越高。“数字世界”儿童数学课程设计了大量的教学活动实例，丰富了教学实践。这些活动多以游戏或竞赛的形式展开，有助于培养儿童数学学习的兴趣和积极的学习态度。此外，每个活动都有相应的活动材料，为幼儿搭建了实际操作、自主探究的平台。课程方案为教师提供了详细的活动指导策略，帮助一线教师将理论和实践有机地结合起来，使活动设计更具可操作性。这对我国幼儿园课程改革的启示是：课程的开发者和设计者应当更多地考虑课程的实用性，尤其要关注课程能否为教师提供实质性的、具有实际操作价值的方案。

　　参考文献：

　　〔1〕周欣.儿童数概念的早期发展〔M〕.上海:华东师范大学出版社,2004:6,18-19.
　　〔2〕CASE R,GRIFFIN S. Child cognitive development: The role of central conceptual structures in the development of scientific and social thought〔M〕//E A HAUERT. (eds.) Developmental psychology: Cognitive, perceptuo-motor, and neurological perspectives. North-Holland, The Netherlands: Elsevier,1990.
　　〔3〕GRIFFIN S,CASE R. Evaluating the breadth and depth of training effects when central conceptual structures are taught〔J〕. Society for Research in Child Development Monographs, 1996, 59.
　　〔4〕CASE R,YUKARI OKAMOTO. The role of central conceptual structures in the development of children’s thought〔M〕.Cambridge:Cambridge University Press,1996.
　　〔5〕GRIFFIN S,CASE R. Re-thinking the primary school math curriculum:An approach based on cognitive science〔J〕. Issues in Education, 1997, 3(1): 1-49.
　　〔6〕GRIFFIN S. Number worlds: A research-based mathematics program for young children〔M〕//DH CLEMENTS, AM DIBIASE, J SARAMA.Engaging young children in mathematics: Standards for pre-school and kindergarten mathematics education.Mahwah,N.J.:Lawrence Erlbaum Associates, 2004:325-342.
　　〔7〕GRIFFIN S. Building number sense with number worlds: A mathematics program for young children〔J〕. Early Childhood Research Quarterly, 2004, 19(1): 173-180.
　　〔8〕黄瑾.学前儿童数学教育〔M〕.上海:华东师范大学出版社,2007.
　　〔9〕GRIFFIN S, CASE R. Number worlds: Kindergarten level〔M〕. Durham,NH:Number Worlds Alliance, 1996.
　　〔10〕汪玲,郭德俊. 元认知的本质与要素〔J〕. 心理学报,2000，32（4）: 458-463.

帐号：
密码：